Kalkulus - Relasi dan Fungsi

 Relasi dan Fungsi

PRODUK  CARTESIUS ( lengkapnya Renatus Cartesius nama latin dri Rene Deacartes )

Definisi :

Jika A dan B dua himpunan, maka produk cartesius dua himpunan tersebut adalah himpunan semua pasangan terurut (x, y) dengan x  A dan y  B, yang

ditulis A x B = {(x, y) / x  A dan y  B}

A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}

A x B = {(x,y)/ x  A dan y  B}

1.    A x B = {(1,a), (1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

Relasi

R_AxB = ARB = bagian dari (subset) A x B disebut relasi A ke B

  R_AxB  = R : A ke B = R : A =

2.    ARB = {(1,a), (1,b),(1,c),(2,b),(2,c),(3,a),(3,c)} , 2 1

3.    R_AxB = ARB = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,c),(3,c)}, 3 1

4.    R_AxB = ARB = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)}, 4 1

A = { 1, 2, 3 } domain dari relasi A

B =  { a, b, c } codomain dari A

Daerah hasil bagian dari no. 2 dan no.4 adalah B ={a, b, c}, sedangkan untuk no.3 adalah  K = {a,c}

RELASI

Perhatikan pasangan terurut (a, b), dimana a  A dan b  B.

Maka {(a, b) / a  A dan b  B} dinamai relasi dari  a  A ke  b  B} dan ditulis A R B. Himpunan A dinamai wilayah ( domain) relasi, dan himpunan bagian dari pada himpunan B ( himpunan unsur yang bersifat a R b, dimana b  B) dinamai daerah jelajah (range) dari pada relasi. Himpunan B dinamai kodomain relasi.

Contoh :  Diberikan pada waktu kuliah

FUNGSI :

Fungsi : adalah kejadian khusus dari relasi

Contoh :

1.    R_{A xB} = R : A = {(1,a), (1,c),(2,a),(2,c),(3,c)} Relasi

2.    R_{A xB} = R : A = {(1,c),(2,c),(3,c)} Fungsi

3.    R_{A xB} = R : A = {(1,a),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)} Relasi

4.    R_{A xB} = R : A = {(1,a)(2,c),(3,b)} Fungsi

5.    R_{A xB} = R : A = {(1,a),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,b)}Relasi

6.    R_{A xB} = R : A = {(1,a)(2,b),(3,b)} Fungsi

Fungsi :

Definisi :

Misalkan A dan B himpunan. Suatu himpunan bagian f ( A x B dimanai fungsi dari A ke B,  dan di tulis   f :  A —→ B, jika :

1.      Untuk setiap unsur a  A terdapat hanya satu unsur b  B, sehingga pasangan terurut   (a, b)   f.

2.      Tidak terdapat dua pasangan terurut berlainan yang mempunyai anggota pertama yang sama.

Keterangan :

1.      Perkataan “ setiap unsur a  A”  mempunyai arti, bahwa semua unsur di A harus habis;  artinya , setiap  a  A mempunyai kaitan dengan unsur b  B.

2.      Perkataan hanya satu unsur b  B;  diartikan, bahwa suatu unsur a  A tidak dapat mengait lebih dari satu unsur di B, tetapi suatu unsur b  B dapat merupakan kaitan bagi lebih dari satu unsur di A.

3.      Unsur b  B yang mempunyai kaitan dengan suatu a  A dinamai peta untuk unsur a  itu, dan ditulis f(a) = b. Himpunan semua peta di B, dinamai jelajah f, dan ditulis R_f , sedang himpunan A sendiri disebut wilayah, ditulis D_f .

Dari keterang b jelas, bahwa Rf tidak perlu meliputi semua unsur di B, dengan perkataan lain R_f  B, yaitu D_f = {x/ x  A, (x, y)  f }  dan

                                               R_f = {y/ y  B, (x, y)  f }

4.      Contoh :  Diberikan pada waktu kuliah

Definisi :

Suatu fungsi f dari A ke B, ditulis f :  A —→ B,  ialah suatu aturan (formula), yang mengaitkan setiap x  A  dengan tepat satu unsur  y  B

Macam – macam fungsi :

Misalkan A dan B himpunan dan f adalah fungsi dari A ke B, atau f :  A ——→ B

a.       Fungsi ke dalam (Into = Injektif)

Jika terdapat suatu unsur b  B, yang tidak merupakan peta suatu unsur a di A, maka f dinamai fungsi ke dalam dari A ke B, {  B tidak habis sedangkan A habis, dimana   n(A) = n(B)}

Diagram Venn:

Diberikan pada waktu kuliah

b.      Fungsi kepada (Onto = Surjektif)

Jika setiap  unsur b  B, merupakan peta suatu unsur a di A, maka f dinamai fungsi kepada dari A ke B, {  B tidak habis sedangkan A habis, dimana   n(A)  n(B) atau B  A }

Diagram Venn:

Diberikan pada waktu kuliah

c.       Fungsi satu – satu  (Bijektif)

Jika untuk setiap  ,    A, dan       berlaku f(       , maka f dinamai fungsi satu – satu dari  A ke B, {n(A) = (B)}

Diagram Venn:

Diberikan pada waktu kuliah

Contoh :  Diberikan pada waktu kuliah

d.      Fungsi Konstan

e.       Fungsi Identitas

f.       Fungsi Inverse

Macam – Macam Fungsi

Kita membagi fungsi menurut jenisnya, yaitu :

1.      Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden

2.      Fungsi Aljabar

a.       Fungsi Rasional dan Fungsi Irrasional

Fungsi aljabar ialah fungsi yang aturannya meliputi operasi: jumlah, pengurangan, kali, pembagian, pangkat rasional, dan akar.

a.       Fungsi rasional bulat, seperti

y = 2x³ – 3x² + 4x + 7; dts

b.      Fungsi rasional pecah,  seperti

y  = ;  dst  misal y =

c.       Fungsi Irrasional, seperti

y  = ; dst

d.      Fungsi pangkat rasional seperti

y = x³; dst

3.      Fungsi Transenden

Fungsi transenden ialah fungsi yang bukan fungsi aljabar :

a.       Fungsi goniometri(Trigonometri)

y = sin 2x + 3;   y = cos (2x dst

b.      Fungsi logaritma

y  = log x (neg bekas jajahan Belanda);  y = ln( 2x + 1) (neg bekas jajahan Inggris);; dst

c.       Fungsi eksponen

y  = ;  y = ;  y =  dst

d.      Fungsi siklometri, seperti

y  = arc sin x dalam wilayah    ;

y  = arc cos 2x  dalam wilayah   ; dst

Tentukan turunan (derivative) = ,  atau

Kadang – kadang suatu fungsi tidak hanya diatur oleh sebuah hubungan saja misalnya

a.       Fungsi mutlak  f = atau f(x) =

b.      Fungsi dengan parameter  f  =     dimana t adalah parameter

Menurut letak variabel dalam persamaan fungsi, fungsi terbagi atas :

a.       Fungsi eksplisit, ialah bila variabel bebas dan variabel terikatnya terpisah di dua ruas persamaan itu. Contohnya   y = 2x + 3. Umum y =f(x)

b.      Fungsi implisit, bila variabel bebas dan variabel terikatnya berada dalam satu ruas persamaan itu. Contohnya   2x + 3y – 4 = 0 umum f(x,y) = 0

c.       Tentukan turunan (derivative) = ,  atau

Catatan :

Setiap fungsi yang eksplisit selalu dapat dijadikan implisit. Tetapi tidak setiap fungsi implisit dapat di eksplisitkan.

Contoh :

1.      Limit

2.      Turunan

3.      Terapan